Question

（2012•北海）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠EAC=∠CAB；
（2）若CD=4，AD=8：①求O的半径；②求tan∠BAE的值．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB；
（2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，继而可得⊙O的半径长；
②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值．

解答：（1）证明：连接OC．（1分）
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，（2分）
∵OC=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即∠EAC=∠CAB；（3分）

（2）解：①连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，（5分）
∵AC²=AD²+CD²=4²+8²=80，
∴AB=

AC2

AD

=

80

8

=10，
∴⊙O的半径为10÷2=5．（6分）

②连接CF与BF．
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∵∠DFC+∠AFC=180°，
∴∠DFC=∠ABC，
∵∠2+∠ABC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠2=∠DCF，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCF，
∵∠CDF=∠CDF，
∴△DCF∽△DAC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，（8分）
∴DF=

CD2

AD

=

42

8

=2，
∴AF=AD-DF=8-2=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BFA=90°，
∴BF=

AB2-AF2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAD=

BF

AF

=

8

6

=

4

3

．   （10分）

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．