Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点（可与点B或C重合），分别过B、D作AP的垂线段，垂足分别是B₁、D₁．猜想：(DD1)2+(BB1)2的值，并对你的猜想加以证明．

Answer 1

猜想：(DD1)2+(BB1)2的值是1；
证明如下：在△ADD₁和△ABB₁中
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵AD₁⊥DD₁，BB₁⊥AB₁，
∴∠DD₁A=∠AB₁B=90°，
∵∠DAD₁+∠B₁AB=∠B₁AB+∠ABB₁，
∴∠DAD₁=∠ABB₁，
∴△ADD₁≌△BAB₁，
∴AD₁=BB₁，
∵(DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD²=1，
∴(DD1)2+(BB1)2=1；