【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,作CD⊥AB,垂足为D,E为弧BC的中点,连接AE、BE,AE交CD于点F.
(1)求证:∠AEC=90°﹣2∠BAE;
(2)过点E作⊙O的切线,交DC的延长线于G,求证:EG=FG;
(3)在(2)的条件下,若BE=4,CF=6,求⊙O的半径.
【答案】(1)(2)证明见解析;(3)⊙O的半径为10.
【解析】
连接AC、BC,先根据等弧得:∠CAE=∠BAE,则∠CAB=2∠BAE,再由直径所对的圆周角为直角得:∠ACB=90°,直角三角形的两锐角互余得:
∠CAB+∠CBA=90°,等量代换可得结论;
(2)如图2,连接EO,设证明则
(3)如图3,作辅助线,构建直角三角形,证明则,由(2)得,则CM∥EG,设则 根据三角函数得: 列式求得x的值,在△OBM中,设则根据勾股定理列方程可得结论.
证明:(1)如图1,连接AC、BC,
∴∠CEA=∠CBA,
∵E为的中点,
∴=,
∴∠CAE=∠BAE,
∴
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴2∠BAE+∠AEC=90°,
∴∠AEC=90°﹣2∠BAE;
(2)如图2,连接EO,
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE,
设∠OEA=∠OAE=α,
∵EG为切线,
∴OE⊥EG,
∴∠OEG=90°,
∴
∵DG⊥AB,
∴∠FDA=90°,
∴∠FAD+∠AFD=90°,
∴
∴
∴GE=GF;
(3)如图3,连接CE、CB、OE、OC,CB与AE交于点N,CB与OE交于点M,
∵E为的中点,
∴∠COM=∠BOM,
∵OC=OB,
∴OM⊥BC,
∴∠OMB=90°,
由(2)得∠GEM=90°,
∴CM∥EG,
∴∠GEF=∠CNF,
∵∠GFE=∠GEF,
∴∠CFE=∠CNF,
∴
设则
∴
解得:(舍),
由勾股定理得:
在△OBM中,设 则
即
∴
∴
则⊙O的半径为10.
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【题目】如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向,求货船的航行速度.(结果保留根号)
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点,则下列结论:①∠AMD=90°;②M为BC的中点;③AB+CD=AD;④ ;⑤M到AD的距离等于BC的一半;其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,C是AB的垂直平分线EF上一点,连接CA,CB.以BC为直角边作Rt△BCD,且CB=CD,AD交EF于点H,BH交DC于点M.
(1)求证:∠HAC=∠HBC=∠HDC;
(2)判断△DHB的形状,并证明你的结论;
(3)若DH=1,AH=7,则BC= .
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,点C(0,4),A(4,4),过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点.
(1)若OF+BE=AB,求证:CF=CE.
(2)如图2,∠ECF=45°, S△ECF=6,求S△BEF的值.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,点A(2,0),B(6,2),C(6,6),
反比例函数y1=(x>0)的图象过点D,点P是一次函数y2=kx+3﹣3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.
(1)若一次函数y2=kx+3﹣3k的图象必经过点E,则E点坐标为______;
(2)对于一次函数y2=kx+3﹣3k(k≠0),当y随x的增大而增大时,点P横坐标a的取值范围是______.
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【题目】如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,下列结论不正确的结论是( )
A.CD=DN;B.∠1=∠2;C.BE=CF;D.△ACN≌△ABM.
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【题目】大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.又例如:
∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为.
请解答:(1)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值;
(2)已知:,其中x是整数,且0<y<1.
求:①x、y的值;②x﹣y的相反数.
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【题目】规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,请写出图中两对“等角三角形”.
(2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°。求证:CD为△ABC的等角分割线.
(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割线,若△ACD是等腰三角形,请直接写出∠ACB的度数.
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