Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．

（1）求证：∠AEC=90°﹣2∠BAE；

（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG=FG；

（3）在（2）的条件下，若BE=4，CF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）⊙O的半径为10．

【解析】

连接AC、BC，先根据等弧得：∠CAE=∠BAE，则∠CAB=2∠BAE，再由直径所对的圆周角为直角得：∠ACB=90°，直角三角形的两锐角互余得：

∠CAB+∠CBA=90°，等量代换可得结论；

（2）如图2，连接EO,设证明则

（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，证明则，由（2）得，则CM∥EG，设则 根据三角函数得: 列式求得x的值，在△OBM中，设则根据勾股定理列方程可得结论．

证明：（1）如图1，连接AC、BC，

∴∠CEA=∠CBA，

∵E为的中点，

∴=,

∴∠CAE=∠BAE，

∴

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∴2∠BAE+∠AEC=90°，

∴∠AEC=90°﹣2∠BAE；

（2）如图2，连接EO，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE，

设∠OEA=∠OAE=α，

∵EG为切线，

∴OE⊥EG，

∴∠OEG=90°，

∴

∵DG⊥AB，

∴∠FDA=90°，

∴∠FAD+∠AFD=90°，

∴

∴

∴GE=GF；

（3）如图3，连接CE、CB、OE、OC，CB与AE交于点N，CB与OE交于点M，

∵E为的中点，

∴∠COM=∠BOM，

∵OC=OB，

∴OM⊥BC，

∴∠OMB=90°，

由（2）得∠GEM=90°，

∴CM∥EG，

∴∠GEF=∠CNF，

∵∠GFE=∠GEF，

∴∠CFE=∠CNF，

∴

设则

∴

解得：（舍），

由勾股定理得：

在△OBM中，设 则

即

∴

∴

则⊙O的半径为10．