Question

如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

       （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

       （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．

Answer 1

（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；

　　　　　　 　 则：MC＝－x+4＝－x+4，MD＝x＝x；

　　　　　　　　　　 ∴C_{四边形OCMD}＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；

（2）根据题意得：S_{四边形OCMD}＝MC?MD＝（－x+4）? x＝－x²+4x＝－(x-2)²+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0<x<4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；

（3）如图（2），当时，；

如图（3），当时，；

∴S与的函数的图象如下图所示：