【题目】如图,△DEF由△ABC平移得到,∠DFE=∠CDF=30°,∠DEF=90°,BE⊥DF于点B.连接CE,AB=3.
(1)求证:四边形ACDF为矩形
(2)求线段CE的长和△CEF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)CE=,S△CEF=
【解析】
(1)先证明四边形ACFD为平行四边形,再结合∠CFD=90°得到结论;
(2)作EG⊥CF的延长线于点G,利用矩形的性质证明四边形ABED为平行四边形,从而证明四边形BEGF为矩形,得到FG=BE,EG=BF,利用三角形面积得到BE,再利用勾股定理得到CG和EG,从而算出CE,最后利用S△CEF=算出结果.
解:(1)证明:∵△DEF由△ABC平移得到
∴DF∥AC,即四边形ACFD为平行四边形
∵CF⊥DF,
∴∠CFD=90°,
∴平行四边形ACDF为矩形;
(2)如图所示:作EG⊥CF的延长线于点G.
∵△DEF由△ABC平移得到,四边形ACDF为矩形,
∴DE∥AB,
即四边形ABED为平行四边形,
∵DF经过点B.
∴∠ADF=∠DBE=90°,AD∥BE
同理可得∠CFB=∠FBE=90°,CF∥BE
∵∠CFB+∠EBF=180°,EG⊥CF
∴∠EBF=∠FBE=∠EGF=90°
∴四边形BEGF为矩形,FG=BE,EG=BF
∵∠DFE=∠CDF=30°,∠DEF=90°
∴DF=2DE=6,
在Rt△DEF中:EF==
∵S△DEF==
∴BE==,
在Rt△BEF中:BF==,
∴CG=CF+FG=2BE=,EG=,
∴在Rt△CEG中:CE=
∴S△CEF==.
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【题目】如图1,小明用一张边长为的正三角形硬纸板设计一个无盖的正三棱柱糖果盒,从三个角处分别剪去一个形状大小相同的四边形,其一边长记为,再折成如图2所示的无盖糖果盒,它的容积记为.
(1)关于的函数关系式是__________,自变量的取值范围是__________.
(2)为探究随的变化规律,小明类比二次函数进行了如下探究:
①列表:请你补充表格中的数据:
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | |
0 | 3.125 | ________ | 3.375 | ________ | 0.625 | 0 |
②描点:请你把上表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点;
③连线:请你用光滑的曲线顺次连接各点.
(3)利用函数图象解决:
①该糖果盒的最大容积是__________;
②若该糖果盒的容积超过,请估计糖果盒的底边长的取值范围.(保留一位小数)
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【题目】(阅读理解)
借助图形的直观性,我们可以直接得到一些有规律的算式的结果,比如:由图①,通过对小黑点的计数,我们可以得到1+2+3+…+n=n(n+1);由图②,通过对小圆圈的计数,我们可以得到1+3+5+…+(2n﹣1)=n2.
那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢?
如图③,AB是正方形ABCD的一边,BB′=n,B′B″=n﹣1,B″B′′′=n﹣2,……,显然AB=1+2+3+…+n= n(n+1),分别以AB′、AB″、AB′′′、…为边作正方形,将正方形ABCD分割成块,面积分别记为Sn、Sn﹣1、Sn﹣2、…、S1.
(规律探究)
结合图形,可以得到Sn=2BB′×BC﹣BB′2= ,
同理有Sn﹣1= ,Sn﹣2= ,…,S1=13.
所以13+23+33+…+n3=S四边形ABCD= .
(解决问题)
根据以上发现,计算的结果为 .
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【题目】在平行四边形ABCD中,点E在AD边上,连接BE、CE,EB平分∠AEC .
(1)如图1,判断△BCE的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠A=90°,BC=5,AE=1,求线段BE的长.
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【题目】如图,点A、点D为⊙O上两点,线段BC切⊙O于点B,点D在BC的垂直平分线上,CD∥OA,sin∠BCD=,OA=2BD,若BC=,则⊙O的半径为( )
A. B. C. D.
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【题目】在新冠状病毒的影响下,某学校积极响应政府号召,开展了“停课不停学”网上授课工作,为了网上授课工作顺利开展和取得良好成效,该校在授课第一周和授课第二周分别随机抽取部分学生进行“网上授课教学效果反馈”网上调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,调查显示:两次调查反馈教学效果为“较差”人数相等,第二周反馈教学效果为“很好”人数比例比第一周多,请根据调查显示和统计图中的信息解决下列问题:
在图1中,表示“较好”的扇形圆心角的度数为_ 度,并把图2条形统计图补充完整;
若把调查反馈教学效果“很好”和“较好”作为网上授课成效良好的标准,该校大约有名学生,请估计授课第二周学校网上授课成效良好的学生人数;
有一位家长认为,两次调查反馈授课效果为“较差”人数相等,因此学校在一周后调整的措施并没有提高网上授课效果,这位家长分析数据的方法合理吗?请结合统计图,对这位家长分析数据的方法及学校在一周后调整措施对网上授课效果的影响谈谈你的看法.
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【题目】如图,为加快5G网络建设,某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD,信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米,在距山脚A水平距离18米的E处,有一高度为10米的建筑物EF,在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°(信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上),则信号塔CD的高度约是( )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A.22.5米B.27.5米C.32.5米D.45.0米
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【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为( )
A. B. 3 C. D. 5
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