Question

23、如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D．
（1）求证：PB=PD；
（2）若角的顶点P在圆上或圆内，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．

Answer 1

分析：（1）过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F．根据角平分线的性质可知OE=OF，PE=PF，再利用全等三角形的性质证明．
（2）成立，证明的理论依据相同．

解答：解：（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F．
∵OP平分∠EPF，
∴OE=OF，又OP=OP，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴PE=PF，
∴AB=CD，则BE=DF，
∴PE+BE=PF+DF，
∴PB=PD．

（2）上述结论仍成立．如下图所示．证明略．
当点P在圆上时，
根据解平分线的性质可知OE=OF，
∴△OPE≌△OPF，
∴PE=PF，
根据垂径定理得AE=PE，CF=PF，
∴AP=CP，
当点P在圆内时，
根据解平分线的性质可知OE=OF，
∴△OPE≌△OPF，
∴PE=PF，
连接OA，OC则△OAE≌△OCF，
∴AE=CF，
∴AP=CP．

点评：本题综合考查了垂径定理和全等三角形的判定及性质．注意做几何题时一定要图题结合，利用图形来直观形象的解题．