Question

15．在坐标平面内，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-9x+m=0的两个根，且OA：OB=1：2
（1）求m的值；
（2）求直线AB的解析式；
（3）点M是线段OB上一点，过点M作直线l平行于x轴，在直线l是否存在一点P，使△ABP为等腰直角三角形，若存在，请直接写P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设OA=a，OB=b，一元二次方程x²-9x+m=0的两个根，利用△≥0求出m的范围，再利用根与系数的关系求出a与b的值后即可求出m的值；
（2）由（1）可知：A（-3，0）或（3，0），B（0，6）或（0，-6），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）由（1）可知：A（-3，0）或（3，0），B（0，6）或（0，-6），所以需要分四种情况进行讨论．

解答 解：（1）设OA=a，OB=b，
∵一元二次方程x²-9x+m=0的两个根，
∴△=81-4m≥0，
∴m≤$\frac{81}{4}$，
∴a+b=9，ab=m
∵OA：OB=1：2，
∴b=2a，
∴a+b=a+2a=9，
∴a=3，b=6，
∴m=18；
（2）由（1）可知：A（-3，0）或（3，0）
B（0，6）或（0，-6）；
设 直线AB的解析式为：y=mx+n，
当A（3，0），B（0，6）时，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3m+n}\\{6=n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+6，
同理可求得：当A（3，0），B（0，-6）时，直线AB的解析式为：y=2x-6，
当A（-3，0），B（0，6）时，直线AB的解析式为：y=2x+6，
当A（-3，0），B（0，-6）时，直线AB的解析式为：y=-2x-6；
（3）当A（3，0），B（0，6）时，
若点B为△ABP的直角顶点时，
过点B作BP⊥AB，如图1所示，
∵∠PBM+∠ABO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠PBM=∠BAO，
在△PBM与△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBM=∠BAO}\\{∠PMB=∠BOA}\\{PB=AB}\end{array}\right.$
∴△PBM≌△BAO（AAS）
∴BM=OA=3，PM=OB=6，
∴OM=OB-BM=3，
∴P的坐标为（-6，3）
若点A为△ABP的直角顶点时，
过点A作AP⊥AB，交直线l于点P
当AB=AP时，如图2所示，
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵∠BAP=90°，
∴∠BAO+∠PAD=90°，
∵∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠PAD=∠OBA，
在△ABO与△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠PAD}\\{∠BOA=∠ADP}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△PAD（AAS），
∴PD=OA=3，AD=OB=6，
∴OD=9，
∴点P的坐标为（9，3），
若点P为直角顶点时，如图3所示，
过点P作PE⊥x轴于E，
∵∠BPA=90°，
∴∠BPM+∠MPA=∠MPA+∠APE=90°，
∴∠BPM=∠APE，
在△BPM与△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMP=∠AEP}\\{∠BPM=∠APE}\\{BP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△APE（AAS），
∴PM=PE，BM=AE，
∵四边形PMOE是矩形，
∴四边形PMOE是正方形，
设AE=x，
∴BM=x，OM=OE=3+x，
∴OM+BM=OB，
∴3+x+x=6，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴OE=$\frac{9}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）
由对称性可知：当A（3，0），B（0，-6）时，点P的坐标为（9，-3）或（$\frac{9}{2}$，-$\frac{9}{2}$）或（-6，-3）
当A（-3，0），B（0，6）时，点P的坐标为（-9，3）或（$-\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（6，3）
当A（-3，0），B（0，-6）时，点P的坐标为（-9，-3）或（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{9}{2}$）或（6，-3）
综上所述，点P的坐标为：（-6，3）、（9，3）、（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）、（9，-3）、（6，3）、（$\frac{9}{2}$，-$\frac{9}{2}$）、（-9，3）、（$-\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）、（-9，-3）、（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{9}{2}$），（6，-3）

点评 本题考查一次函数的综合题，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，待定系数法求一次函数，等腰直角三角形的性质等知识，综合程度较高．