Question

11．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？请求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．

解答 解：
（1）∵A（-1，0），C（0，2）在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），且C（0，2），
∴CD=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵点P在对称轴上，
∴可设P（$\frac{3}{2}$，t），
∴PD=|t|，PC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$，
当PD=CD时，则有|t|=$\frac{5}{2}$，解得t=±$\frac{5}{2}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
当PC=CD时，则有$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，解得t=0（与D重合，舍去）或t=4，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，4）；

（3）当y=0时，即-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-1或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），

设直线BC解析式为y=kx+s，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{4k+s=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵点E是线段BC上的一个动点，
∴可设E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），则F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∴S_△CBF=$\frac{1}{2}$×4•EF=2[=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2]=-（m-2）²+4，
∵-1＜0，
∴当m=2时，S_△CBF有最大值，最大值为4，
此时-$\frac{1}{2}$x+2=1，
∴E（2，1），即E为BC的中点，
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为（2，1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出PC和PD是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出△CBF的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．