Question

如图，△ABC是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，AP=CQ．联结PQ交AC于D点．过P作PE∥BC，交AC于E点．
（1）说明DE=DC的理由；
（2）过点P作PF⊥AC于F，说明DF=

1

2

AC的理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质，可得∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得EF与AE的关系，根据线段中点的性质，可得DE=

1

2

CE，EF与AE的关系，根据线段的和差，可得答案．

解答：（1）解：∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°．
∴∠A=∠AEP．
∴AP=PE．
又∵AP=CQ，
∴PE=CQ．
在△EDP和△CDQ中

∠EDP=∠CDQ ∠EPD=∠O PE=PQ

，
∴△EDP≌△CDQ（AAS），
∴DE=DC；
（2）∵AP=PE，PF⊥AC，
∴EF=

1

2

AE．
∵DE=DC，且DE+DC=CE，
∴DE=

1

2

CE．
∴DF=EF+DE
=

1

2

AE+

1

2

CE
=

1

2

（AE+CE）
=

1

2

AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的性质．