Question

11．已知：在矩形ABCD中，AD=BC=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上一点，满足∠BPC=90°．
①求证：△ABP∽△DPC；
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与A、D不重合）且满足∠BPE=90°，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
②当CE=1时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）①利用同角的余角相等得出∠ABP=∠CPD，从而判断出结论；
②借助①的结论得出$\frac{AB}{DP}=\frac{AP}{DC}$，代入已知量，最后解方程即可得出结论；
（2）①同（1）①的方法判断出△ABP∽△DPQ，得出$\frac{AB}{DP}=\frac{AP}{DQ}$，再代换化简即可求出函数，用点Q在DC的延长线上得出y＞0求出定义域即可；
②同（1）①的方法判断出△ABP∽△HPE，得出$\frac{AB}{PH}=\frac{AP}{HE}$，而PH=4-AP，HE=2，AB=2，HE=2，代入比例式即可求出AP

解答 解：（1）①如图1，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠ABP=∠CPD，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽△DPC，
②由①知，△ABP∽△DPC，
∴$\frac{AB}{DP}=\frac{AP}{DC}$，
∵AB=CD=2，AD=5，
∴DP=AD-AP=5-AP，
∴$\frac{2}{5-AP}=\frac{AP}{2}$，
∴AP=1或AP=4，
（2）①如图2，
在矩形ABCD中，
同（1）①的方法得出△ABP∽△DPQ，
∴$\frac{AB}{DP}=\frac{AP}{DQ}$，
∵AB=CD=2，AD=5，CQ=y．AP=x，
∴DP=AD-AP=5-x，DQ=CD+CQ=2+y，
∴$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{2+y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x²-5x+4）
∵y＞0，
∴$\frac{1}{2}$（x²-5x+4）＜0，
∴1＜x＜4
即：y=-$\frac{1}{2}$（x²-5x+4），定义域为1＜x＜4
②过点E作EH⊥AB，
∴DH=CE=1，HE=CD=2
∴AH=AD-DH=4，
∴PH=AH-AP=4-AP
同（1）①的方法得出，△ABP∽△HPE，
∴$\frac{AB}{PH}=\frac{AP}{HE}$，
∴$\frac{2}{4-AP}=\frac{AP}{2}$，
∴AP=2．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，解本题的关键是判断三角形相似．