Question

17．如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象经过?OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D．
（1）求m的值；
（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；
（3）若P为函数y═$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上方的?OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质确定出B的坐标从而确定出D的坐标，而点A，D在反比例函数图象上，建立方程求出m，
（2）根据三角形OAD的面积是平行四边形OABC面积的一半，确定出n即可；
（3）根据平行四边形的性质和双曲线的性质，确定出PM，ON即可．

解答 解：（1）∵点C（3，0），?OABC的顶点A（m，n），
∴B（m+3，n），
∴D（$\frac{m}{2}$+3，$\frac{n}{2}$），
∵函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象经过?OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D，
∴mn=k，$\frac{n}{2}（\frac{m}{2}+3）=k$，
∴m=2，
（2）∵点D是平行四边形BC中点，
∴S_{平行四边形OABC}=2S_△OAD=12，
∵S_{平行四边形OABC}=3×n=12，
∴n=4，
由（1）知，m=2，
∴k=mn=8，
（3）①如图1，点N在OA上，

由（1）知，m=2，
∴A（2，n）．
即0＜t＜2
直线OA的解析式为y=$\frac{n}{2}$x，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，$\frac{2n}{t}$），
∵过点P作直线l⊥x轴于点M．
∴N（t，$\frac{n}{2}$t），M（t，0），
∴PN=$\frac{2n}{t}$-$\frac{n}{2}$t，PM=$\frac{2n}{t}$，
∵$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2n}{t}$=4（$\frac{2n}{t}$-$\frac{n}{2}$t），
∴t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍），
②如图2，

当点N在AB上时，
由（1）知，B（5，n），
∴2≤t≤3
由题意知，P（t，$\frac{2n}{t}$）．N（t，n），M（t，0），
∵$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$，
∴4（n-$\frac{2n}{t}$）=$\frac{2n}{t}$，
∴t=$\frac{5}{2}$，
③如图3，4，


当点N在BC上时，（3＜t≤5）
∵B（5，n），C（3，0），
∴直线BC解析式为y=$\frac{n}{2}$x-$\frac{3n}{2}$，
∴P（t，$\frac{2n}{t}$），N（t，$\frac{n}{2}$t-$\frac{3n}{2}$），M（t，0），
∵$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$，
∴4|$\frac{n}{2}$t-$\frac{3n}{2}$-$\frac{2n}{t}$|=$\frac{2n}{t}$，
∴t=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$（舍）或t=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍）
∴t的值为$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的面积，平行四边形的性质，解本题的关键是求出m，n的值．