Question

【题目】（1）如图1中，△ABC为正三角形，点E为AB边上任一点，以CE为边作正△DEC，连结AD．求的值．

（2）如图2中，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，点E为腰AB上任意一点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连结AD．求的值；

（3）如图3中，△ABC为任意等腰三角形，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC＝AC．连结AD，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；
（2）由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=CD，BC=AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；
（3）仿照前两问，以此类推得到一般性规律，求出所求之比即可．

解：（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，

∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，AB＝AC，CE＝DC，

∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝60°﹣∠ACE，

∠DCA＝∠DCE﹣∠ACE＝60°﹣∠ACE，

∴∠ECB＝∠DCA，

在△ECB和△DCA中，

，

∴△ECB≌△DCA（SAS），

∴BE＝AD，

则＝1；

（2）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，

∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝45°，CE＝DC，BC＝AC，

∴，

∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，

∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，

∴∠ECB＝∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴；

（3）依此类推，当BC＝AC时，＝，理由为：

∵等腰△ABC和等腰△CDE中，

∴∠B＝∠ACB＝∠DCE，CE＝DC，BC＝AC，

∴，

∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，

∴∠ECB＝∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴＝．