分析 根据“伴侣矩形”的定义可知:圆上的点一定在矩形的对角线交点上,因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等,由此画出图形,先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标,和矩形的长和宽;
有两种情况:①矩形在x轴下方时,作辅助线构建相似三角形得比例式,分别求出DG和DH的长,从而求出CG的长,根据坐标特点写出点C的坐标;②矩形在x轴上方时,也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线,利用平行相似得比例式,求出:C($\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
解答 解:如图所示,矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”,
根据直线l:y=$\sqrt{3}$x-3得:OM=$\sqrt{3}$,ON=3,
由勾股定理得:MN=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
①矩形在x轴下方时,分别过A、D作两轴的垂线AH、DG,
由cos∠ABD=cos∠ONM=$\frac{ON}{MN}$=$\frac{AB}{BD}$,
∴$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{AB}{2}$,AB=$\sqrt{3}$,则AD=1,
∵DG∥y轴,
∴△MDG∽△MNO,
∴$\frac{DG}{ON}=\frac{DM}{MN}$,
∴$\frac{DG}{3}=\frac{2-1}{2\sqrt{3}}$,
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
同理可得:$\frac{DH}{OM}=\frac{DN}{MN}$,
∴$\frac{DH}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$,
∴DH=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$,
∴C($\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$);
②矩形在x轴上方时,同理可得:C($\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$);
故答案为:($\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)或($\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
点评 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.同时,正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键,这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等.
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A. | -$\sqrt{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
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