Question

在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F.

（1） 求OA，OC的长；
（2） 求证：DF为⊙O′的切线；
（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）解：在矩形ABCO中，设OC=x，则OA=x+2，
依题意得，x(x+2)=15.
解得（不合题意，舍去）
∴ OC="3" ，OA="5" .    …………………………………1分
（2）证明：连结O′D，在矩形OABC中，

∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E为BC的中点，
∴△OCE≌△ABE .
∴ EO="EA" .
∴∠EOA=∠EAO .
又∵O′O= O′D，
∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.
∴ O′D∥EA .
∵ DF⊥AE，
∴ DF⊥O′D .
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，
∴ DF为⊙O′的切线.    …………………………………3分
（3）答：存在 .
当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于点和两点，
则△AO、△AO均为等腰三角形.
证明：过点作H⊥OA于点H，则H=OC=3，
∵ A=OA=5，
∴ AH=4，OH=1.
∴（1,3）.
∵（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不与C、E重合，
∴ 点在⊙O′内.
类似可求（9,3）.
显然，点在点E的右侧，
∴点在⊙O′外.
当OA=OP时，同①可求得，（4,3），（-4,3）.
显然，点在点E的右侧，点在点C的左侧
因此，在直线BC上，除了E点外，还存在点， ，，，它们分别使△AOP为等腰三角形，且点在⊙O′内，点、、在⊙O′外.     …………7分

略