Question

9．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边AD、AB上且AE=BF=1，连接BE、CF交于点G，在线段EG上取一点H使HG=BG，连接DH，把△EDH沿AD边翻折得到△EDH’，则点H到边DH’的距离是$\frac{24}{25}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先连接HH'，根据轴对称的性质，判定△ABE≌△BCF，再根据勾股定理求得CF=$\sqrt{10}$，BG=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，进而得出EH：HB=2：3，再根据平行线分线段成比例定理，求得PE=$\frac{2}{5}$，PH=$\frac{6}{5}$，PD=$\frac{12}{5}$，最后设点H到边DH'的距离是h，根据面积法得到$\frac{1}{2}$×HH'×PD=$\frac{1}{2}$×DH'×h，求得h的值即可．

解答 解：连接HH'，交AD于P，则AD垂直平分HH'，
∴DH=DH'，即△DHH'是等腰三角形，
∵正方形ABCD的边长为3，AE=BF=1，∠A=∠FBC=90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF，CF=BE，
又∵∠ABE+∠GBC=90°，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
∴BG⊥CF，
∵BF=1，BC=3，
∴Rt△BCF中，CF=$\sqrt{10}$，BG=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
∴HG=BG=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
又∵CF=BE=$\sqrt{10}$，
∴HE=$\frac{4}{10}\sqrt{10}$，
∴EH：HB=2：3，
∵PH∥AB，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{PH}{AB}$=$\frac{2}{5}$，即$\frac{PE}{1}$=$\frac{PH}{3}$=$\frac{2}{5}$，
∴PE=$\frac{2}{5}$，PH=$\frac{6}{5}$，PD=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△PDH中，DH=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}+2）^{2}}$=$\frac{6}{5}\sqrt{5}$=DH'，HH'=2×$\frac{6}{5}$=$\frac{12}{5}$，
设点H到边DH'的距离是h，则
$\frac{1}{2}$×HH'×PD=$\frac{1}{2}$×DH'×h，
∴$\frac{12}{5}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{6}{5}\sqrt{5}$×h，
∴h=$\frac{24}{25}\sqrt{5}$，
∴点H到边DH'的距离是$\frac{24}{25}\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{24}{25}\sqrt{5}$．

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了正方形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是根据面积法列出等式求得点H到边DH'的距离，解题时注意方程思想的运用．