Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B、D．且AO：BC＝3：2．

（1）求点D坐标；

（2）将△AOD沿着OD折叠，设顶点A的对称点为A′，试判断点A′是否恰好落在直线BD上，为什么？

Answer 1

【答案】（1）D（1，3）；（2）点A′不在直线BD上，理由见解析

【解析】

（1）先根据AO：BC＝3：2，BC＝2，得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3，可知BC∥AO，故可得出B点的坐标，再根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上可得出k值，由AC∥x轴，可设点D（t，3），代入反比例函数解析式可得t的值，进而可得出D的坐标；

（2）过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′，根据AC∥x轴，可得∠A′ED＝∠A′FO＝90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA′∽△A′FO，设A′（m，n），可得出，再根据勾股定理可得m2+n2＝9，两式联立可得m，n的值，故可得出A′的坐标，用待定系数法求出经过点D（1，3），点B（3，1）的直线函数关系式为y＝﹣x+4，再把x＝代入即可得出结论．

解：（1）∵AO：BC＝3：2，BC＝2，

∴OA＝3，

∵点B、C的横坐标都是3，

∴BC∥AO，

∴B（3，1），

∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴1＝，解得k＝3，

∵AC∥x轴，

∴设点D（t，3），

∴3t＝3，解得t＝1，

∴D（1，3）；

（2）结论：点A′不在直线BD上，

理由：过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′（如图所示），

∵AC∥x轴，

∴∠A′ED＝∠A′FO＝90°，

∵∠OA′D＝90°，

∴∠A′DE＝∠OA′F，

∴△DEA′∽△A′FO，

设A′（m，n），

∴，

又∵在Rt△A′FO中，m2+n2＝9，

∴m＝，n＝，即A′（，），

∵经过点D（1，3），点B（3，1）的直线函数关系式为y＝﹣x+4，

∴当x＝时，y＝﹣+4＝≠，

∴点A′不在直线BD上．