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19.已知抛物线y=mx2+(m-2)x+m-1.根据下列条件,判断m是否存在,若存在,求出m的值.
(1)经过原点;
(2)顶点在y轴上;
(3)最低点在x轴上;
(4)当x<-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而减小,当x>-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而增大.

分析 (1)把原点坐标代入可得到关于m的方程,可求得m的值;
(2)由对称轴公式可得到关于m的方程,可求得m的值;
(3)由顶点在x轴上,即最小值为0,可得到关于m的方程,可求得m的值,再结合开口应向上,可求得m的值;
(4)由条件可知其对称轴和开口方向,可求得m的值.

解答 解:
(1)∵抛物线y=mx2+(m-2)x+m-1经过原点,
∴m-1=0,解得m=1;
(2)∵抛物线y=mx2+(m-2)x+m-1,
∴对称轴为x=-$\frac{m-2}{2m}$,
∵顶点在y轴上,
∴对称轴为x=0,即-$\frac{m-2}{2m}$=0,解得m=2;
(3)∵抛物线y=mx2+(m-2)x+m-1最低点在x轴上,
∴抛物线开口向上,且其最小值为0,
∴$\frac{4m(m-1)-(m-2)^{2}}{4m}$=0,解得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∵抛物线开口向上,
∴m>0,
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
(4)∵当x<-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而减小,当x>-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而增大,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=-$\frac{1}{2}$,
∴m>0,-$\frac{m-2}{2m}$=-$\frac{1}{2}$,
∴m>0.

点评 本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的性质以及二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

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