Question

如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．
（1）当点A的坐标为（

3

3

，p）时，
①填空：p=

 

，m=

 

，∠AOE=

 

．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由点A（

3

3

，p）在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到m=

3

；在Rt△OBA中，OB=1，AB=

3

3

，OA=

2 3

3

，得到∠AOE=60°；
②连接TM，ME，EN，ON，根据切线的性质得到QE⊥x轴，QT⊥OT，由QE⊥MN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME；同时有△QEN为等边三角形，则∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到∠TMN=90°，得到TN∥ME，所以∠MTN=60°=∠TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到∠DME=90°，DM垂直平分MN，所以Rt△MFD∽Rt△EFM，得到MF²=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，令y=1，得到x₁=h-

1-k a

，x₂=h+

1-k a

，则MF=

1

2

MN=

1-k a

，得到（

1-k a

）²=1•（k-1），解得a=-1．

解答：解：（1）①∵点A的坐标为（

3

3

，p），点A在直线l上，
∴p=1，即点A坐标为（

3

3

，1）；
而点A在直线y=mx上，
∴1=

3

3

m，解得m=

3

；
在Rt△OBA中，OB=1，AB=

3

3

，
∴OA=

2 3

3

，
∴∠AOB=30°，
∴∠AOE=60°．
故答案为1，

3

，60°；

②连接TM，ME，EN，如图，
∵OE和OT是⊙Q的切线，
∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°，
而l∥x轴，
∴QE⊥MN，
∴MF=NF，
又∵当r=2，EF=1，
∴QF=2-1=1，
∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME，
∴NQ=NE，即△QEN为等边三角形，
∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，
在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，
∴T、Q、N三点共线，即TN为直径，
∴∠TMN=90°，
∴TN∥ME，
∴∠MTN=60°=∠TNE，
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；

（2）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值不会变化．理由如下：
连DM，ME，如图，
∵DE为直径，
∴∠DME=90°，
而DE垂直平分MN，
∴Rt△MFD∽Rt△EFM，
∴MF²=EF•FD，
设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，
又∵M、N的纵坐标都为1，
当y=1，a（x-h）²+k=1，解得x₁=h-

1-k a

，x₂=h+

1-k a

，
∴MN=2

1-k a

，
∴MF=

1

2

MN=

1-k a

，
∴（

1-k a

）²=1•（k-1），
∵k＞1，
∴

1-k

a

=k-1，
∴a=-1．

点评：本题考查了抛物线的顶点式：y=a（x-h）²+k，其中顶点坐标为（h，k）；也考查了等腰梯形的判定和三角形相似的判定与性质以及垂径定理．