Question

19、如图：正方形ABCD，M是线段BC上一点，且不与B、C重合，AE⊥DM于E，CF⊥DM于F．求证：AE²+CF²=AD²．

Answer 1

分析：先根据“AAS”判断出△AED≌△DFC，求出CF=DE，再在直角三角形ADE中用勾股定理证明即可．

解答：证明：在正方形ABCD中，
AD=DC，∠ADE+∠CDF=90°，（1分）
AE⊥DM，FC⊥DM，
∠AED=∠ADE=90°，（2分）
∠EAD+∠ADE=90°，（3分）
∠EAD=∠FDC，
△AED≌△DFC，（4分）
CF=DE，（5分）
在△RtADE中，
AE²+DE²=AD²，
AE²+CF²=AD²．（6分）

点评：此题巧妙的将勾股定理和正方形的性质结合，有一定的综合性．解题的关键是利用全等三角形的性质找到相等的线段，再用勾股定理建立起三边联系即可．