Question

2．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点C的纵坐标为4，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由两函数解析式交点A横坐标为2，将x=2代入直线解析式中求出对应y的值，确定出交点坐标，将交点坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
（2）根据k的几何意义可知S_△COE=S_△AOF，所以S_梯形CEFA=S_△COA=15．

解答 解：（1）由题意，将x=2代入y=$\frac{1}{2}$x中，得：y=1，
则A（2，1），
将A（2，1）代入反比例解析式得：1=$\frac{k}{2}$，
解得k=2．
（2）如图，
过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
把y=4代入y=$\frac{2}{x}$得，4=$\frac{2}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴C（$\frac{1}{2}$，4），
∵点C、A都在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴S_△COE=S_△AOF=1．
∴S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF．
∴S_△COA=S_梯形CEFA．
∵S_梯形CEFA=$\frac{1}{2}$×（1+4）×（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{4}$，
∴S_△COA=$\frac{15}{4}$．

点评 主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．