Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点D处，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点D按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜a＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图1所示）．那么，在上述旋转过程中：
（1）如图1，线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？请说明你发现的结论的理由．
（2）如图2，连接HK，
①若AK=12，BH=5，求△OKH的面积；
②若AC=BC=4，设BH=x，当△CKH的面积为2时，求x的值，并说出此时四边形CHOK是什么特殊四边形．

Answer 1

解：（1）在旋转过程中，BH=CK，
四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．
理由如下：连接OC，
∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB，
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB．又∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=a，∴△COK≌△BOH（ASA）．
∴BH=CK，S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=S_△ABC
（2）①由（1）知，BH=CK=5，AK=CH=12，
在Rt△CKH中，
KH==13，
∵S_△OKH=OK×OH=KH²=．
②由（1）知，CK=BH=x，∴BC=4，∴CH=4﹣x．
根据题意，得S_△CKH=CH·CK=2，（4﹣x）x=2，
即，x²﹣4x+4=0，
解得x=2（0＜x＜4）．
∴当△CKH的面积为2时，x的取值是2，此时四边形CHOK是正方形．