Question

如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，试说明∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以说明．

Answer 1

分析：（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3））①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，②当动点P在射线BA上时，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），③当动点P在射线BA的左侧时，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD，根据三角形外角性质和平行线性质求出即可．

解答：解：（1）延长AP交BD于M，如图1，

∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，如图2，

理由是：过P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，
∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF=360°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
∴∠APB=360°-∠PAC-∠PBD，
∵∠APB≠180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）①当动点P在射线BA的右侧时，如图3，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
②当动点P在射线BA上时，如图4，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠PBD，
∵∠APB=0°，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB．
③当动点P在射线BA的左侧时，如图5，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PAC=∠APB+∠PMC，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

点评：本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，用了分类讨论思想．