Question

如图，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点．若AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，则DE的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,圆周角定理

专题：

分析：首先连接BD，由AB为直径，易证得△ABC∽△ADB，又由AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，即可求得AD与AB的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，然后由勾股定理求得BC的长，又由E是BC边的中点，即可求得DE的长．

解答：解：连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°，
∵∠A是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AC

AB

，
∵AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的个根，AB为圆的直径，
∴AD=4，AB=6，
∴AC=

AB2

AD

=

62

4

=9，
∴BC=

AC2-AB2

=3

5

，
∵E是BC边的中点，
∴DE=

1

2

BC=

3

2

5

．
故答案为：

3

2

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、一元二次方程的解法以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．