Question

9．我们对平面直角坐标系xOy中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”．
我们假设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是三角形边上的任意两点．如果|x₁-x₂|的最大值为m，那么三角形的“横长”l_x=m；如果|y₁-y₂|的最大值为n，那么三角形的“纵长”l_y=n．如图1，该三角形的“横长”l_x=|3-1|=2；“纵长”l_y=|3-0|=3．
当l_y=l_x时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”．
（1）如图2所示，已知点O（0，0），A（2，0）．
①在点C（-1，3），D（2，1），$E（{\frac{1}{2}，-2}）$中，可以和点O，点A构成“方三角形”的点是C，E；
②若点F在函数y=2x-4上，且△OAF为“方三角形”，求点F的坐标；
（2）如图3所示，已知点O（0，0），G（1，-2），点H为平面直角坐标系中任意一点．若△OGH为“方三角形”，且S_△OGH=2，请直接写出点H的坐标．

Answer 1

分析 （1）①根据方三角形”的定义即可解决问题；
②据题意，当O（0，0），A（2，0）时，因为△OAF为“方三角形”，可知当x≤0时，点F位于直线y=-x+2与直线y=x-2上，当0＜x≤2时，点F位于直线y=2与直线y=-2上，当x≥2时，点F位于直线y=x与直线y=-x上，再利用方程组，求交点坐标，即可解决问题；
（2）结论：H₁（2，0），H₂（4，-4），H₃（-3，2），H₄（-1，-2）．因为△OGH为“方三角形”，推出当x≤-1时，点H位于直线y=-x-1与直线y=x-1上，
当x≥2时，点H位于直线y=x-2与直线y=-x上，以及端点为（-1，0），（-1，-2）的线段与端点为（2，0），（2，-2）的线段，结合图形，理由方程组交点坐标即可解决问题；

解答 解：（1）①根据方三角形”的定义可知：点C、E可以和点O，点A构成“方三角形”．
故答案为C，E．

②据题意，当O（0，0），A（2，0）时，
∵△OAF为“方三角形”，
∴当x≤0时，点F位于直线y=-x+2与直线y=x-2上，
当0＜x≤2时，点F位于直线y=2与直线y=-2上，
当x≥2时，点F位于直线y=x与直线y=-x上，

又∵点F在函数y=2x-4上，
∴当$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴F₁（1，-2），
∴当$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4\end{array}\right.$，
∴F₂（4，4）．

（2）结论：H₁（2，0），H₂（4，-4），H₃（-3，2），H₄（-1，-2）
理由：据题意，当O（0，0），G（1，-2）时，

∵△OGH为“方三角形”，
∴当x≤-1时，点H位于直线y=-x-1与直线y=x-1上，
当x≥2时，点H位于直线y=x-2与直线y=-x上，
以及端点为（-1，0），（-1，-2）的线段与端点为（2，0），（2，-2）的线段，
又∵S_△OGH=2，
∴点H位于直线y₁=-2x-4与直线y₂=-2x+4上，
∴当$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-4\\ y=-x-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=2\end{array}\right.$，
∴H₃（-3，2），
∴当$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+4\\ y=-x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-4\end{array}\right.$，
∴H₂（4，-4），
∴当$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴H₄（-1，-2），
∴当$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+4\\ y=x-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$，
∴H₁（2，0），
综上所述，满足条件的点H的坐标为H₁（2，0），H₂（4，-4），H₃（-3，2），H₄（-1，-2）．

点评 本题考查一次函数的应用、“方三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．