Question

【题目】我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．

①求证：四边形BCGE是垂美四边形；

②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②GE＝

【解析】

（1）由垂美四边形得出AC⊥BD，则∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论；
（2）①连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，由正方形的性质得出AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，易求∠GAB=∠CAE，由SAS证得△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，由∠AEC+∠AME=90°，得出∠ABG+∠AME=90°，推出∠ABG+∠BMN=90°，即CE⊥BG，即可得出结论；
②垂美四边形得出CG2+BE2=CB2+GE2，由勾股定理得出BC==3，由正方形的性质得出CG=4 ，BE=5，则GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得出结果．

（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形BCGE是垂美四边形；

②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，

∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝＝＝3，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，

∴GE＝．