Question

（2012•天桥区三模）（1）已知：如图1，?ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE=DF．
（2）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

Answer 1

分析：（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，由全等三角形的判定定理得出△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）假设O为圆形截面所在圆的圆心，过O作OC⊥AB于D，交AB于C，先由垂径定理得出BD的长，故可得出CD的长，设半径为xcm，则OD=（x-4）cm．在Rt△BOD中，由勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴∠BAE=∠BCF，
在△ABE与△CDF中，
∵

∠BAE=∠DCF AB=CD ∠ABE=∠CDE

，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；

（2）解：假设O为圆形截面所在圆的圆心，过O作OC⊥AB于D，交AB于C，
∵OC⊥AB，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×16=8cm，
由题意可知，CD=4cm．
设半径为xcm，则OD=（x-4）cm．
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD²+BD²=OB²
∴（x-4）²+8²=x²．
∴x=10．即这个圆形截面的半径为10cm．

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理及平行四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．