Question

6．平面直角坐标系中，A（0，4），点P从原点O开始向x轴正方向运动，设P点横坐标为m，以点P为圆心，PO为半径作⊙P交x 轴另一点为C，过点A作⊙P的切线交 x轴于点B，切点为Q．
（1）如图1，当B点坐标为（3，0）时，求m；
（2）如图2，当△PQB为等腰三角形时，求m；
（3）如图3，连接AP，作PE⊥AP交AB于点E，连接CE，求证：CE是⊙P的切线；
（4）若在x轴上存在点M（8，0），在点P整个运动过程中，求MQ的最小值（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，由△PQB∽△AOB，$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{OB}$，由此即可解决问题．
（2）如图2中，设OP=PQ=BQ=x，则PB=$\sqrt{2}$x，列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，连接PQ．只要证明△EPC≌△EPQ，推出∠ECP=∠PQE，由此即可证明．
（4）以A为圆心OA为半径画圆交AM于点Q，此时MQ最小（两点之间线段最短），设QM=x，在Rt△AOM中，根据OA²+OM²=AM²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接PQ．

∵OP⊥OA，
∴AO是⊙P切线，∵AQ是⊙P切线，
∴AO=AQ=4，
∵OA=4，0B=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴BQ=AB-AQ=1，
∵∠PBQ=∠OBA，∠PQB=∠AOB=90°，
∴△PQB∽△AOB，
∴$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{OB}$，
∴$\frac{PB}{5}$=$\frac{1}{3}$，
∴PB=$\frac{5}{3}$，
∴m=OP=OB-PB=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$．

（2）如图2中，连接PQ．

∵△PQB是等腰直角三角形，
∴OP=PQ=BQ，设OP=PQ=BQ=x，则PB=$\sqrt{2}$x，
则有x+$\sqrt{2}$x=4，
∴x=4$\sqrt{2}$-4．
∴m=4$\sqrt{2}$-4．

（3）如图3中，连接PQ．

∵∠APE=90°，AQ是切线，
∴∠AQQP=90°，
∴∠EPQ+∠APQ=90°，∠PAQ+∠APQ=90°，
∴∠EPQ=∠PAQ，
∵∠EPC+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠EPC=∠PAO，
∵AO、AQ是切线，
∴∠PAO=∠PAQ，
∴∠EPC=∠EPQ，
在△EPC和△EPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PQ}\\{∠EPC=∠EPQ}\\{PE=PE}\end{array}\right.$，
∴△EPC≌△EPQ，
∴∠ECP=∠PQE=90°，
∴EC是⊙P的切线．

（4）如图4中，

以A为圆心OA为半径画圆交AM于点Q，此时MQ最小（两点之间线段最短），设QM=x，
在Rt△AOM中，∵OA²+OM²=AM²，
∴4²+8²=（4+x）²，
解得x=4$\sqrt{5}$-4或-4$\sqrt{5}$-4（舍弃），
∴MQ的最小值为4$\sqrt{5}$-4．

点评 本题考查圆的综合题、切线长定理、全等三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题最小值问题，属于中考压轴题．