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已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D,交AC于点E.
(1)求证:DEOB;
(2)若⊙O的半径为2,BC=4,求AD的长.
(1)证明:∵∠ACB=90°,CO是⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线,
又∵AB与⊙O相切,
∴OC=OD,且BO为∠CBA的角平分线,
∴BO⊥CD,(3分)
又∵CE是⊙O的直径,且C是⊙O上一点,
∴DE⊥CD,
∴DEOB;(5分)

(2)∵DEOB,
AD
DB
=
AE
EO

又BD=BC=4,OE=2,
AD
4
=
AE
2
,即AD=2AE,(7分)
又AD、AC分别是⊙O的切线和割线,
∴AD2=AE•AC,即AD2=AE•(AE+4),(9分)
∴AD2=
AD
2
•(
AD
2
+4),可得AD=
8
3

练习册系列答案
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如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,点C是⊙O上异与点A、B的点,如果∠P=60°,那么∠ACB等于______.

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如图,在半径为5cm的⊙O中,直线l交⊙O于A、B两点,且弦AB=8cm,要使直线l与⊙O相切,则需要将直线l向下平移(  )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

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如图,四边形ABCD是等腰梯形,ADBC,BC=2,以线段BC的中点O为圆心,以OB为半径作圆,连结OA交⊙O于点M
(1)若∠ABO=120°,AO是∠BAD的平分线,求
BM
的长;
(2)若点E是线段AD的中点,AE=
3
,OA=2,求证:直线AD与⊙O相切.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知AB是⊙O的直径,AC为弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O切线;
(2)若⊙O的直径为4,AD=3,求∠BAC的度数.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A的切线与CD的延长线交于E,且∠ADE=∠BDC.
(1)求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若AE=6,BC=12,CD=5,求AD的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A是⊙O外一点,B是⊙O上一点,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,∠C=22.5°,∠A=45度.求证:直线AB是⊙O的切线.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上,开始时,PO=6cm.如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动,那么当⊙P的运动时间t(秒)满足条件______时,⊙P与直线CD相交.

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