Question

12．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2$\sqrt{3}$），圆C的圆心坐标为（-2，0），半径为2．
（1）若直线AB绕点A旋转与圆C有公共点时，与y轴交与点E，当三角形ABE的面积最小时直线AB旋转了多少度？求出此时三角形ABE面积的最小值．
（2）若直线AB不动，求圆C向x轴的正半轴移动到与直线AB相切时圆心C的坐标．
（3）若（1）、（2）的两种运动同时进行，直线AB旋转30度时圆心C的坐标为（2-2$\sqrt{3}$，0），求此时直线AB被圆C截得的弦DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到当AB旋转到AD与圆C相切时，△ABE面积最小值，如图1a所示，设切点为M，连接CM，利用切线的性质得到AM垂直于CM，在直角三角形ACM中，由AC=2CM，得到∠MAC=30°，在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用锐角三角函数定义求出∠BAO的度数，进而求出∠BAD度数，即为旋转角，由OB-OE求出BE的长，即可求出△ABE面积的最小值；
（2）若直线AB不动，圆C向x轴的正半轴移动到与直线AB相切时，设切点为N，如图1b所示，连接CN，由C的坐标确定出OC的长，由OA+OC求出AC的长，在△ACN中，设AN=x，则有AC=2x，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC的长，由AC-OA求出OC的长，即可确定出圆心C的坐标；
（3）过C作CG⊥DF，利用垂径定理可得DG=AG=$\frac{1}{2}$AD，连接CD，如图2所示，由C的坐标确定出OC的长，根据OC+OA求出AC的长，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CG的长，在直角三角形DCG中，利用勾股定理求出DG的长，即可求出DF的长．

解答 解：（1）当AB旋转到AD与圆C相切时，△ABE面积最小值，如图1a所示，

设切点为M，连接CM，可得AM⊥CM，
在Rt△ACM中，AC=2+2=4，CM=2，
∴∠CAM=30°，
在Rt△AOB中，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：AB=4，即OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
在Rt△AOE中，OA=2，∠OAE=30°，
∴OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=OB-OE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则当△ABE的面积最小时直线AB旋转了30°，此时三角形ABE面积的最小值为$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）若直线AB不动，圆C向x轴的正半轴移动到与直线AB相切时，设切点为N，如图1b所示，

连接CN，此时CN⊥AB，
在Rt△ACN中，∠CAN=60°，CN=2，
设AN=x，则有AC=2x，
根据勾股定理得：x²+2²=（2x）²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即AC=2x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OC=AC-OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2，
则此时圆心C（2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）；
（3）过C作CG⊥DF，可得DG=AG=$\frac{1}{2}$AD，连接CD，如图2所示，
 
由直线AB旋转30°，得到∠CAD=30°，
在Rt△ACG中，AC=4，
∵C（2-2$\sqrt{3}$，0），即OC=2$\sqrt{3}$-2，
∴AC=2$\sqrt{3}$-2+2=2$\sqrt{3}$，CG=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△DCG中，DC=2，CG=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：DG=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
则DF=2DG=2．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：切线的性质，含30度直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．