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    20．已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，点C为直线AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线交x轴于P点．
    （1）当OP=1时，△OCP的面积为$\frac{9}{8}$．
    （2）作点P关于直线OC对称的点P′，当P′落在直线AB上时，求C点的坐标．
    （3）当点C在线段AB上时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2）
    ①求CD的长；
    ②设△COD的OC边上的高为h，当OP为何值时，h的值最大？

    分析 （1）由条件可求得C点坐标，可求得△OCP的面积；
    （2）由对称的性质可知△OPC≌△OP′C，可知OD⊥AB，利用面积相等可求得OD，即可求得OP，可求得C点坐标；
    （3）①设C（t，-$\frac{3}{4}$t+3，），则以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，又由过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB从而解得CD；
    ②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为$\frac{36}{25}$时，h最大．

    解答 解：（1）∵PC⊥x轴，
    ∴当OP=1时，即C点的横坐标为1，
    又C在直线AB上，当x=1时，代入可求得y=$\frac{9}{4}$，即PC=$\frac{9}{4}$，
    ∴S△OCP=$\frac{1}{2}$OP•PC=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{8}$，
    故答案为：$\frac{9}{8}$；
    （2）当点P关于直线OC的对称点P′落在直线AB上时，如图1，

    在△OPC和△OP′C中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OP=OP′}\\{PC=P′C}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
    ∴△OPC≌△OP′C（SSS），
    ∴OP=OP′，且∠OP′C=∠OPC=90°，
    以Rt△OAB中，OA=4，OB=3，可求得AB=5，
    ∴OP′=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
    ∴OP=$\frac{12}{5}$，即C点横坐标为x=$\frac{12}{5}$，代入直线AB解析式可求得y=$\frac{6}{5}$，
    ∴C点坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
    （3）①由题意得：C（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
    ∴以C为顶点的抛物线解析式是y=（x-t）2-$\frac{3}{4}$t+3，
    由（x-t）2-$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
    即（x-t）2+$\frac{3}{4}$（x-t）=0，
    ∴（x-t）（x-t+$\frac{3}{4}$）=0，
    解得x1=t，x2=t-$\frac{3}{4}$．
    过点D作DE⊥CP于点E，如图2，则∠DEC=∠AOB=90°，

    ∵DE∥OA，
    ∴∠EDC=∠OAB，
    ∴△DEC∽△AOB，
    ∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，
    ∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
    ∴CD=$\frac{DE•BA}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×5}{4}$=$\frac{15}{16}$；
    ②∵CD=$\frac{15}{16}$，CD边上的高=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
    ∴S△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{9}{8}$，
    ∴S△COD为定值．
    要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，
    ∵∠AOB=90°，
    ∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
    又∵CP⊥OA，
    ∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
    ∴$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{BA}$，
    ∴OP=$\frac{OC•BO}{BA}$=$\frac{\frac{12}{5}×3}{5}$=$\frac{36}{25}$，
    即当OP为$\frac{36}{25}$时，h的值最大．

    点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及三角形的面积、点的坐标与函数解析式的关系、二次函数解析式、三角形全等、相似的判定和性质等知识点．在（1）中利用点的坐标与函数解析式的关系求得CP是解题的关键，在（2）中得出OP′⊥AB是解题的关键，在（3）①中用t表示出DE、利用相似三角形的性质求得CD，在②中判断出△OCD的面积最大是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度很大．

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