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17.如图,已知在平行四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H,联结EH、FG.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如果AD⊥BD,求证:四边形EGFH是菱形.

分析 (1)连接EF,交BD于点O,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形;
(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证.

解答 (1)解:连接EF,交BD于点O.
∵AB∥CD,AB=CD,点E、F分别是AB、CD的中点,
∴$\frac{FO}{EO}$=$\frac{OD}{BO}$=$\frac{DF}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}CD}{\frac{1}{2}AB}$=1.
∴FO=EO,DO=BO.
∵DH=GB,
∴OH=OG.
∴四边形EGFH是平行四边形.

(2)证明:由(1)知,四边形EGFH是平行四边形.
∵点E、O分别是AB、BD的中点,
∴OE∥AD.
∵AD⊥BD,
∴EF⊥GH.
∴?HEGF是菱形.

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例定理,以及菱形的判定,正确理解定理是解决本题的关键.

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