Question

在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB="5," A,B两点的横坐标X_A,X_B是关于X的方程的两根:

小题1:求m，n的值;
小题2:若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式;
小题3:过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

Answer 1

 
小题1:∵以AB为直径的圆过点C，∴∠ACB=90°，而点C的坐标为（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，（1分）
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．（2分）
由根与系数关系有：，
解之m=-5，n=-3．（4分）
小题2:如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC= ，BC= ，（5分）
∵DE∥BC，∴，∵DE=EC，∴，
又△AED∽△ACB，有，∴=2，（6分）
∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB="x=" ，
则OD= ，即D（- ，0），（7分）
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）
解法二：过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得．（5分）
又S_△BCD= BD•CO= BC•DF，
求得BD= ，DO= ．（7分）
即D（- ，0），
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）
小题3:过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．
∵CD为∠ACB的平分线，∴DE=DF．
由△MDE∽△MNC，有，（9分）
由△DNF∽△MNC，有． （10分）
∴，（11分）
即．（12分）

 略