Question

20．已知抛物线C₁：y=x²+2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线C₂：y=ax²+bx+c经过点B，与x轴的另一个交点为E（-4，0），与y轴交于点D（0，2）．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）设点P为线段AB上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线C₁于点M，交抛物线C₂于点N．
①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；
②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先求得A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线C₂的解析式；
（2）可设P（x，0），①则可表示出M、N的坐标，可表示出MN的长，从而可用x表示出四边形AMBN的面积，利用二次函数的性质可求得当其取最大值时x的值，可求得P点坐标；
②分CM和DN平行和不平行两种情况，分别构造全等三角形可得到关于x的方程，从而可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=x²+2x-3中，令y=0可得0=x²+2x-3，解得x=-3或x=1，令x=0可得y=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），
设抛物线C₂的解析式为y=ax²+bx+c，
把B、D、E三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；

（2）设P（x，0）（-3＜x＜1），则M（x，x²+2x-3），N（x，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2），
①∵点P为线段AB上一动点，
∴MN=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2-（x²+2x-3）=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x+5，
∴S_{四边形AMBN}=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x+5）=-3x²-7x+10=-3（x+$\frac{7}{6}$）²+$\frac{169}{12}$，
∵-3＜0，
∴当x=-$\frac{7}{6}$时，S_{四边形AMBN}有最大值，
此时P点坐标为（-$\frac{7}{6}$，0）；

②分CM和DN平行和不平行两种情况，
当CM与DN不平行时，如图1，作MF⊥CD于F，NG⊥CD于G，

在Rt△MFC和Rt△NGD中
$\left\{\begin{array}{l}{MF=NG}\\{MC=ND}\end{array}\right.$
∴Rt△MFC≌Rt△NGD（HL），
∴FC=GD，
∴PM-PN=FO-OG=OC-OD=3-2=1，
∴-x²-2x+3-（-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2）=1，解得x=-1或x=0（舍去），
∴P（-1，0）；
当CM∥DN时，如图2，

则四边形MNDC为平行四边形，
∴MN=CD=2+3=5，
∴-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x+5=5，解得x=0（舍去）或x=-$\frac{7}{3}$，
∴P（-$\frac{7}{3}$，0）；
综上可知P点坐标为（-1，0）或（-$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、四边形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标表示出MN的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．