Question

2．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0．-1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）点A的坐标是（0，1），n=2，b=-1，k=3；
（2）x取何值时，函数y≡kx+b的函数值大于函数y≡x+1的函数值；
（3）求四边形AOCD的面积；
（4）是否存在y轴上的点P，使得BD≡BP？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由函数y=x+1的图象与y轴交于点A，可求点A的坐标，由y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），可得D的坐标，由一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1）与D（1，2），即可求出k，b的值．
（2）根据图象即可得出答案；
（3）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（4）当BP=DB时，设P（0，y），BP²=0²+（y+1）²=DB²=1²+（2+1）²求解即可．

解答 解：（1）∵函数y=x+1的图象与y轴交于点A，
∴令x=0时，y=0+1，解得y=1，
∴A（0，1），
∵y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），
∴n=1+1=2，
∴D（1，2），
∵一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1）与D（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=3x-1
故答案为：（0，1），2，-1，3；

（2）由一次函数图象可得当x＞1时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；

（3）∵D（1，2），
∴直线BD的解析式为y=3x-1，
∴A（0，1），C（$\frac{1}{3}$，0）
∴S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$；

（4）存在．
当BP=DB时
设P（0，y），
∵B（0，-1），D（1，2），
BP²=0²+（y+1）²=DB²=1²+（2+1）²，
∴y=$\sqrt{10}$-1或y=-$\sqrt{10}$-1
∴P（0，-1-$\sqrt{10}$）或P（0，$\sqrt{10}$-1）；
综上所述点P的坐标为：（0，-1-$\sqrt{10}$）或（0，$，1+\sqrt{10}$）．

点评 本题考查了一次函数综合知识，难度适中，解题的关键是利用等腰三角形的性质．