Question

已知抛物线y=px²+x+q（pq≠0）与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于点C，问△ABC能否成为直角三角形？如果能，请给出pq应满足的条件，并加以证明；如果不能，请说明理由．

Answer 1

当pq=-1时，能成为直角三角形．
理由：∵抛物线y=px²+x+q（pq≠0）与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴AB=|x₁-x₂|，
∴x₁+x₂=-

1

p

，x₁•x₂=

q

p

，
假设△ABC能构成为直角三角形，则x₁•x₂＜0，即

q

p

＜0，
由抛物线y=px²+x+q（pq≠0）可知，C点的坐标为（0，q），
∴AC²+BC²=AB²，即x₁²+2q²+x₂²=（x₁-x₂）²，q²=-x₁•x₂=-

q

p

，
∵

q

p

＜0，
∴-

q

p

＞0，
∴q²=-x₁•x₂=-

q

p

有意义，
∴pq=-1．
故能构成为直角三角形，应满足pq=-1．