如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=6.BC=8.点M在AC边上.点N从点C出发沿折线CB-BA运动到点A停止.点P是点C关于直线MN的对称点.连接MP.NP(当点N与点C.A重合时.点P均与点C重合)．(1)若CM=2.①又当点N在CB上.MP∥BC时.则CN=2.MN=2$\sqrt{2}$,②又当MN∥AB时.求CN的长,的条件下.求点P到AB边的距离的最小值.并求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点M在AC边上，点N从点C出发沿折线CB-BA运动到点A停止，点P是点C关于直线MN的对称点，连接MP，NP（当点N与点C，A重合时，点P均与点C重合）．
（1）若CM=2，
①又当点N在CB上，MP∥BC时，则CN=2，MN=2$\sqrt{2}$；
②又当MN∥AB时，求CN的长；
（2）在（1）的条件下，求点P到AB边的距离的最小值，并求出当取得这个最小值时，点P运动路线的长是多少？（参考数据：sin54°=cos36°≈$\frac{4}{5}$，sin36°=cos54°≈$\frac{3}{5}$，结果保留π）
（3）设MC=a（a＞2），其他条件不变，当有且只能有唯一的点P落在线段AB上时，直接写出a的取值范围a=$\frac{8}{3}$或3＜a≤6．

分析（1）①连接CP，由对称的性质得：PM=CM=2，PC⊥MN，由平行线的性质得出∠PMC=90°，证出△PMC是等腰直角三角形，得出∠PCM=45°，证出△CMN是等腰直角三角形，得出CN=CM=2，MN=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{2}$即可；
②当MN∥AB时，△MNC∽△ABC，得出对应边成比例求出CN=$\frac{8}{3}$；
（2）P在M为圆心，CM为半径的圆周上运动，作MT⊥AB于T，则PT=MT-2，当MT最小时，P在线段MT上最小，由三角函数得sinA=$\frac{MT}{AM}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，求出MT=$\frac{4}{5}$AM═$\frac{16}{5}$，得出PT=$\frac{16}{5}$-2=$\frac{6}{5}$；由cos∠AMT=sinA=$\frac{4}{5}$，得出∠AMT=36°，求出∠CMT=180°-36°=144°，由弧长公式即可得出点P运动路线的长；
（3）分情况：①当圆M与AB相切时，由sinA=$\frac{a}{6-a}=\frac{4}{5}$，解得：a=$\frac{8}{3}$；
②当$\frac{8}{3}$＜a≤3时，圆M与AB有2个交点；
③当3＜a≤6时，圆M与线段AB仅1个交点．

解答解：（1）①连接CP，如图1所示：
由对称的性质得：PM=CM=2，PC⊥MN，
∵MP∥BC，∠C=90°，
∴∠PMC=90°，
∴△PMC是等腰直角三角形，
∴∠PCM=45°，
∴∠PCN=90°-45°=45°，
∴∠CNM=45°，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CN=CM=2，MN=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{2}$；
故答案为：2，2$\sqrt{2}$；
②当MN∥AB时，△MNC∽△ABC，
∴$\frac{CN}{CB}=\frac{CM}{CA}$，即$\frac{CN}{8}=\frac{2}{6}$，
∴CN=$\frac{8}{3}$；
（2）P在M为圆心，CM为半径的圆周上运动，
作MT⊥AB于T，如图2所示：
则PT=MT-2，当MT最小时，P在线段MT上最小，
∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，sinA=$\frac{MT}{AM}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴MT=$\frac{4}{5}$AM=$\frac{4}{5}$（6-2）=$\frac{16}{5}$，
∴PT=$\frac{16}{5}$-2=$\frac{6}{5}$，
即点P到AB边的距离的最小值为$\frac{6}{5}$；
∵cos∠AMT=sinA=$\frac{4}{5}$，
∴∠AMT=36°，
∴∠CMT=180°-36°=144°，
∴点P运动路线的长=$\frac{144π×2}{180}$=$\frac{8}{5}π$；
（3）分情况：①当圆M与AB相切时，sinA=$\frac{a}{6-a}=\frac{4}{5}$，
解得：a=$\frac{8}{3}$；
②当$\frac{8}{3}$＜a≤3时，圆M与AB有2个交点；
③当3＜a≤6时，圆M与线段AB仅1个交点；
综上所述：当a=$\frac{8}{3}$或3＜a≤6时，圆M与线段AB有1个交点；
即当有且只能有唯一的点P落在线段AB上时，a的取值范围是a=$\frac{8}{3}$或3＜a≤6；
故答案为：a=$\frac{8}{3}$或3＜a≤6．

点评本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数、直线与圆的位置关系等知识；本题综合性强，有一定难度．

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