Question

抛物线y=x²，y=-

1

2

x2和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．
（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线y=

2

x+b与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．

Answer 1

分析：根据两个抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，进而可得到OA、OB、AB的长，由于∠AOB是直角，利用勾股定理即可求出a的值，从而确定A、B两点的坐标．
（1）若过原点的直线将△OAB的面积平分，那么此直线必经过AB的中点，已知了A、B的坐标，则线段AB中点的坐标易求得，即可利用待定系数法求得该直线的解析式．
（2）分别将A、B的坐标代入已知的直线解析式中，结合两种情况下的b值，即可得到b的取值范围．

解答：解：由题意知：A（a，a²），B（a，-

1

2

a²），则：
OA²=a²+a⁴，OB²=a²+

1

4

a⁴，AB²=

9

4

a⁴；
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA²+OB²=AB²，即a²+a⁴+a²+

1

4

a⁴=

9

4

a⁴，
解得a=

2

（负值舍去）；
故A（

2

，2），B（

2

，-1）；
①设AB的中点为C，则C（

2

，

1

2

），
若所求直线将△AOBM的面积两等分，那么直线必过点C；
设此直线的解析式为：y=kx，则有：

2

k=

1

2

，k=

2

4

；
故所求的直线为：y=

2

4

x；
②将点A的坐标代入直线y=

2

x+b中，得：2+b=2，b=0；
将点B的坐标代入直线y=

2

x+b中，得：2+b=-1，b=-3；
故b的取值范围是：-3≤b≤0．

点评：此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、勾股定理、三角形面积的求法、函数解析式的确定等知识；能够根据已知条件求得a的值，是解决此题的关键，难度适中．