Question

【题目】阅读材料：

如图12-1，过锐角△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）.

(1)求抛物线解析式和线段AB的长度；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；

(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)3;(2)CD=2,3;(3)见解析.

【解析】（1）已知抛物线的顶点C的坐标，可设这个二次函数的解析式为，然后把A点坐标代入即可求出二次函数的解析式，继而求出点B坐标，根据勾股定理即可求出AB的长；

（2）求出直线AB的解析式，由C点的横坐标可求得D点的纵坐标，从而可求得CD的长，然后再根据题中给出的求三角形面积的求法进行求解即可得；

（3）可先根据（2）中三角形CAB的面积得出三角形PAB的面积，三角形PAB中，水平宽是A的横坐标为定值，因此根据三角形PAB的面积可得出此时的铅垂高，然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式，先表示出铅垂高，然后根据由三角形PAB的面积求出的铅垂高可得出关于x的方程，即可得出x的值，然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标．

(1)设抛物线的解析式为：，

把B（0，3）代入解析式求得，

所以，

由求得A点的坐标为 ，

所以OA=3，OB=3，所以AB=；

(2) 设直线AB的解析式为：，

把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，得，

解得：k=-1，b=3，

所以y2=-x+3，

因为C点坐标为(１，4)，

所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2，

所以CD＝4-2＝2，

(平方单位) ；

(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

则，

由S△PAB=S△CAB得：，

化简得：，

△=-36<0，

所以不存在这样的P点.