Question

已知直线y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=

k

x

(k≠0)交于A、B两点，其中A（-1，-2）与B（2，n），
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点C（-1，0），则在平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B的坐标，将A与B的坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线与x轴交于C点，求出C坐标，确定出OC的长，三角形AOB的面积等于三角形AOC与三角形BOC面积之和，求出即可；
（3）存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，求出D坐标即可．

解答：解：（1）将A（-1，-2）代入反比例解析式得：-2=

k

-1

，即k=2，
故反比例函数解析式为y=

2

x

；
将B（2，n）代入反比例解析式得：n=

2

2

=1，即B（2，1），
将A与B坐标代入直线解析式得：

2a+b=1 -a+b=-2

，
解得：

a=1 b=-1

．
故直线解析式为y=x-1；

（2）设直线与x轴交点为E点，对于y=x-1，令y=0，求出x=1，即E（1，0），
则OE=1，
则S_△AOB=S_△EOC+S_△AOC=

1

2

OE•|y_B纵坐标|+

1

2

OE•|y_A纵坐标|=

1

2

+1=

3

2

；

（3）存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，理由为：
如图所示，四边形ACD₁B，四边形ACBD₂，四边形ABCD₃都为平行四边形，
∵A（-1，-2），C（-1，0），
∴AC=2，
∴BD₁=BD₂=2，
∴D₁（2，3），D₂（2，-1），
由C（-1，0），A（-1，-2），D₁（2，3），D₂（2，-1），
得到直线CD₁解析式为y-3=

3-0

2+1

（x-2），即y=x+1，直线AD₂解析式为y+1=

-1+2

2+1

（x-2），即y=

1

3

x-

5

3

，
联立两直线解析式得：

y=x+1 y= 1 3 x- 5 3

，
解得：

x=-4 y=-3

，
∴D₃（-4，-3），
综上，存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，其坐标为：D₁（2，3），D₂（2，-1），D₃（-4，-3）．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，两直线的交点，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，是一道中档题．