Question

19．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：△BDE≌△CDF；
（3）求证：AD是BC的中垂线．

Answer 1

分析 （1）依据AAS证明△AED≌△AFD，依据全等三角形的性质可得到DE=DF；
（2）由（1）得到DE=DF，然后依据SAS证明△BDE≌△CDF即可；
（3）先证明AB=AC，然后依据SAS证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得到∠BDA=∠CDA=90°，BD=DC，故此可证明AD是BC的中垂线．

解答 证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠AFD=90°．
在△AED和△AFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD．
∴DE=DF．
（2）∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BDE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠BED=∠CFD=90°}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF．
（3）∵△AED≌△AFD，
∴AE=AF．
又∵BE=FC，
∴AB=AC．
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BDA=∠CDA=90°，BD=DC．
∴AD是BC的中垂线．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．