已知.在矩形ABCD中.E为BC边上一点.AE⊥DE.AB=12.BE=12$\sqrt{3}$.F为线段BE上一点.EF=7.连接AF．如图1.现有一张硬质纸片△GMN.∠NGM=90°.NG=6.MG=6$\sqrt{3}$.斜边MN与边BC在同一直线上.点N与点E重合.点G在线段DE上．如图2.△GMN从图1的位置出发.以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动.同时点P从A点出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=12$\sqrt{3}$，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=6$\sqrt{3}$，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点G到达线段AE上时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

分析（1）如答图1所示，证明QEMG为平行四边形，则运动路程QG=EM=12，t值可求；
（2）存在符合条件的点P．在Rt△ABE中，AB=12，BE=12$\sqrt{3}$，由勾股定理得：AE=24．由三角函数的定义得到∠AEB=30°，求得sin∠AEB=$\frac{1}{2}$，cos∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．由于NE=t，于是得到QE=NE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，AQ=AE-QE=24-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．△APQ是直角三角形，有两种可能的情形：①∠APQ=90°，如图2所示：根据四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，求出∠PAQ=∠AEB=30°，于是得到cos∠PAQ=cos30°=$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出t=$\frac{48\sqrt{3}}{11}$，②当∠AQP=90°时，如图3所示：根据已知条件得到tan∠GMN=$\frac{NG}{MG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出∠GMN=30°，根据平行线的性质得到∠GQE+∠QGM=180°求得N，G，Q三点共线，根据cos∠PAQ=cos30°=$\frac{AQ}{AP}$，列方程$\frac{24-\frac{\sqrt{3}}{2}t}{2t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得到结论．

解答解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=6$\sqrt{3}$，
∴MN=12．
由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．
∵∠AED=∠EGM=90°，
∴AE∥GM．
∴四边形QEMG为平行四边形，
∴QG=EM=12．
∴t=12秒；

（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=12$\sqrt{3}$，由勾股定理得：AE=24．
∴∠AEB=30°，则sin∠AEB=$\frac{1}{2}$，cos∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵NE=t，∴QE=NE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，AQ=AE-QE=24-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
△APQ是直角三角形，有两种可能的情形：
①∠APQ=90°，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PAQ=∠AEB=30°，
∴cos∠PAQ=cos30°=$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AP=2t，
∴$\frac{2t}{24-\frac{\sqrt{3}}{2}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=$\frac{48\sqrt{3}}{11}$，
②当∠AQP=90°时，如图3所示：
∵NG=6，MG=6$\sqrt{3}$，
∴tan∠GMN=$\frac{NG}{MG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠GMN=30°，
∴QE∥GM，
∴∠GQE+∠QGM=180°，
∴∠QGM=90°，
∴∠QGM+∠NGM=180°，
∴N，G，Q三点共线，
∵cos∠PAQ=cos30°=$\frac{AQ}{AP}$，
∴$\frac{24-\frac{\sqrt{3}}{2}t}{2t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$；
综上所述，当t=$\frac{48\sqrt{3}}{11}$或$\frac{16\sqrt{3}}{3}$秒时，存在点P，使△APQ是直角三角形．

点评本题考查了矩形的性质，平行线的判定和性质，三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题关键是清楚理解图形的运动过程．

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