Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线DE与⊙O相切.
理由如下：
连接OD，

∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA.
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB="ED."
∴∠B=∠EDB.
∵∠C= ，
∴∠A＋∠B＝ .
∴∠ODA＋∠EDB＝ .
∴∠ODE＝ － ＝ .
∴直线DE与⊙O相切.
（2）解：解法一：
连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x.
∵∠C=∠ODE = ，
∴ .
∴ .
∴ .
即DE= .
解法二：
连接DM，

∵AM是直径，
∴∠MDA＝ ，AM=4.
又∵∠C= ，
∴ ,
.
∴ , ∴AD=2.4.
∴BD=10-2.4=7.6.
∴BF= .
∵EF⊥BD，∠C= ，
∴ .
∴ , BE= .
∴DE= .
【解析】（1）要证直线DE与⊙O相切，就需连接OD，根据直角三角形两锐角互余得出∠A＋∠B＝ 90 ° ，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ODA，∠B=∠EDB，即可证得∠ODE是直角，从而得出结论。
（2）连接OE，设DE=x，分别表示出BE、CE的长，再利用勾股定理求出x的值，即可得出DE的长；或连接DM，先利用勾股定理求出AB的长，再利用解直角三角形即可求出结果。