Question

已知方程x³-（1+2·3^m）x²+（5ⁿ+2·3^m）x-5ⁿ=0。
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数。

Answer 1

解：（1）若n=m=0，则方程化为x³-3x²+3x-1=0，
即（x-1）³=0，
所以x₁=x₂=x₃=1；
（2）方程化为（x-1）（x²-2·3^mx+5ⁿ）=0，
设方程x²-2·3^mx+5ⁿ=0的两个解为x₁，x₂
则x₁，₂=，
当m=n=1时，方程的三个根均为整数；
（3）设9^m-5ⁿ=k²（其中k为整数）
所以9^m-k²=5ⁿ，即（3^m-k）（3^m+k）=5ⁿ，
不妨设（其中i+j=n，i，j为非负整数），
因此：2·3^m=5^j（5^j-i+1），
又∵5不能整除2·3^m，
∴i=0，
因此有2·43^m=5ⁿ+1，要使三根均为整数，则只有一组正整数m=n=1，
此时x₁=x₂=1，x₃=5。