Question

17．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为Q，交y轴于点A（0，3），交x轴于B（-1，0），C两点，过点B作AB的垂线交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的解析式及顶点Q的坐标；
（2）动点P沿BD从B向D运动，动点P在运动过程中，是否存在以B，P，C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时PC的长；若不存在．请说明理由．
（3）在（2）存在条件下，分别求四边形BQCP的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3），B（-1，0）代入y=x²+bx+c即可得到结论；
（2）根据已知条件得到OA=3，OB=1，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{10}$，得到BC=2，根据余角的性质得到∠CBP=∠BAO，①如图1，当∠CPB=∠BOA=90°时，△CPB∽△BOA，根据相似三角形的性质得到PC=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，PB=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，过P作PH⊥BC于H，于是得到P（-$\frac{14}{5}$，$\frac{3}{5}$），②如图2，当∠PCB=∠BOA=90°时，△PCB∽△BOA，根据相似三角形的性质得到PC=$\frac{2}{3}$，于是得到P（-3，$\frac{2}{3}$）；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）把A（0，3），B（-1，0）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{3=c}\\{0=1-b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3，
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴Q的坐标为（-2，-1）；
（2）存在，
理由：∵A（0，3），B（-1，0），
∴OA=3，OB=1，
∴AB=$\sqrt{10}$，
∵B（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴C（-3，0），
∴BC=2，
∵AB⊥DB，
∴∠CBP+∠ABO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBP=∠BAO，
①如图1，当∠CPB=∠BOA=90°时，△CPB∽△BOA，
∴$\frac{PB}{AO}=\frac{PC}{OB}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∴PC=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，PB=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，
过P作PH⊥BC于H，
∴PH=$\frac{PC•PB}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BH=$\sqrt{P{B}^{2}-P{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴OH=$\frac{14}{5}$，
∴P（-$\frac{14}{5}$，$\frac{3}{5}$），
②如图2，当∠PCB=∠BOA=90°时，△PCB∽△BOA，
∴$\frac{PC}{OB}=\frac{BC}{AO}$，
∴PC=$\frac{2}{3}$，
∴P（-3，$\frac{2}{3}$）；
（3）如图1，S_{四边形BQCP}=S_△BCP+S_△BCQ=$\frac{1}{2}×$2×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}×$2×1=$\frac{8}{5}$；
如图2，S_{四边形BQCP}=S_△BCP+S_△BCQ=$\frac{1}{2}×$2×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}×$2×1=$\frac{5}{3}$，
∴四边形BQCP的面积为$\frac{8}{5}$或$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法取二次函数的解析式，相似三角形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．