Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是⊙O上的一个动点．

（1）若点P是弧

BC

的中点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DP是⊙O的切线； 
（2）若点P是弧

AC

的中点，过点P作AB的平行线与射线BQ交于点Q，当BQ=BP时，求sin∠BQP的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据点P是

BC

的中点，得出

PBA

=

PCA

，得出PA是○O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；
（2）先根据三角形的边长求得圆O的直径，再根据勾股定理求得OD、ED的长，进而求得AE的长，求得sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5

，然后根据BQ=BP得出∠BQP=∠BPQ，根据AB∥PQ，得出∠APB=∠BPQ，因为∠AEP=∠ABP，从而得出∠BQP=∠AEP，即可求得sin∠BQP=sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5

．

解答：解：（1）连接AP，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直径，
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切线．

（2）连接PO并延长交⊙O于E，做AF⊥BC垂足为G，连接CF，
∵AB=AC，
∴AF平分BC，
∴AF是⊙O的直径，
∵BG=CG=6，AC=10，
∴AG=

AC2-CG2

=8，
∵AC²=AG•AF，
∴AF=

25

2

，
∴EP=AF=

25

2

，OE=OA=

25

4

，
∴OD=

OA2-AD2

=

15

4

，
∴ED=OE+OD=10，
∴AE=

ED2+AD2

=5

5

，
∴sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5 5

=

5

5

，
∵BQ=BP，
∴∠BQP=∠BPQ，
∵AB∥PQ，
∴∠ABP=∠BPQ，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠BQP=∠AEP，
∴sin∠BQP=sin∠AEP=

AD

AE

=

5

5

，

点评：此题主要考查了切线的判定与性质以、勾股定理和圆周角定理以及平行线的性质，根据平行线的性质、圆周角的性质得出相等的角是解题关键．