Question

14．如图，在正方形ABCD中，AB=3，E为BC上一点，连接AE，H为AE的中点，过点H作直线FG交AB于F，交CD于G，若∠AHF=30°，AE=FG，则CG的长度为2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 解法1：过H作HI⊥AB于I，过G作GJ⊥AB于J，则HI∥GJ，∠GJF=∠B=90°，判定Rt△ABE≌Rt△GJF，得到∠FGJ=∠EAB，进而根据三角形内角和定理求得∠FHI=30°=∠BAE=∠AHF，再根据含30°角的直角三角形的性质以及解直角三角形，求得AF和FJ的长，即可得到BJ的长，进而得出GC的长；
解法2：过A作AI∥FG，交CD于I，过F作FJ⊥AE于J，则∠HAI=∠AHF=30°，根据四边形AFGI是平行四边形，可得AF=IG，AI=FG=AE，判定Rt△ADI≌Rt△ABE，可得∠DAI=∠BAE，进而得出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到AF的长，进而得出IG的长，最后根据CG=CD-DI-IG进行计算即可．

解答 解法1：如图，过H作HI⊥AB于I，过G作GJ⊥AB于J，则HI∥GJ，∠GJF=∠B=90°，
∴∠FGJ=∠FHI，
∵AE=FG，GJ=AB=3，
∴Rt△ABE≌Rt△GJF，
∴∠FGJ=∠EAB，
∴∠FHI=∠EAB，
又∵Rt△AHI中，∠FHI+∠EAB+∠AHF=90°，而∠AHF=30°，
∴2∠FHI+30=90，
∴∠FHI=30°=∠BAE=∠AHF，
∴Rt△ABE中，BE=tan30°×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
∴FJ=BE=$\sqrt{3}$，
设FI=x，则FH=2x=AF，
∵H是AE的中点，HI∥GJ，
∴AI=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，即AF+FI=$\frac{3}{2}$，
∴2x+x=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴AF=1，
∴BJ=BA-JF-FA=3-$\sqrt{3}$-1=2-$\sqrt{3}$，
∴CG=BJ=2-$\sqrt{3}$，
故答案为：2-$\sqrt{3}$；

解法2：过A作AI∥FG，交CD于I，过F作FJ⊥AE于J，则∠HAI=∠AHF=30°，
∵AF∥GI，AI∥FG，
∴四边形AFGI是平行四边形，
∴AF=IG，AI=FG=AE，
又∵AD=AB，∠D=∠B=90°，
∴Rt△ADI≌Rt△ABE，
∴∠DAI=∠BAE，
又∵∠DAI+∠HAI+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB×tan30°=$\sqrt{3}$，
∴DI=BE=$\sqrt{3}$，AE=2BE=2$\sqrt{3}$，
又∵H是AE的中点，
∴AH=$\sqrt{3}$，
∵∠FAH=∠FHA=30°，
∴AF=FH，
∴AJ=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{AJ}{cos30°}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，
∴IG=AF=1，
又∵CD=AB=3，
∴CG=CD-DI-IG=3-$\sqrt{3}$-1=2-$\sqrt{3}$，
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及平行四边形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算求解．