Question

如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易得∠BAC=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质AB∥CD，可得∠BAC=∠DCA=90°，故直线CD与⊙O相切，
（2）连接AE，易得△CAE∽△CBA，进而可得

CE

AE

=

AC

AB

，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AE的值，代入关系式，可得答案．

解答：解：（1）直线CD与⊙O相切，
理由：∵AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；

（2）连接AE，
∵AC为圆的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠AEC=∠BAC=90°，
又∵∠ACE=∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AE

=

AC

AB

①，
又∵AC=2AO=10cm，EC=8cm，
∴根据勾股定理可得，AE=

AC2-EC2

=6（cm），
代入关系式①得，

8

6

=

10

AB

，
解得AB=7.5cm．

点评：主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，以及坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系．