Question

如图，平面直角坐标系xOy中，A(2，2)，B(4，0)．将△OAB绕点O顺时针旋转a 角(0°＜a ＜90°)得到△OCD(O，A，B的对应点分别为O，C，D)，将△OAB沿x轴负方向平移m个单位得到△EFG(m＞0，O，A，B的对应点分别为E，F，G)，a ，m的值恰使点C，D，F落在同一反比例函数y＝(k≠0)的图象上．

(1)∠AOB＝________°，a ＝________°；

(2)求经过点A，B，F的抛物线的解析式；

(3)若(2)中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上的点P满足以P，M，F，A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等(点P不与点H重合)，请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF上方的点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∠AOB＝30°，a ＝60°．　2分 　　(2)∵A，B，△OAB绕点O顺时针旋转a 角得到△OCD，(如图) 　　∴OA＝OB＝OC＝OD＝4． 　　由(1)得 ． 　　∴点C与点A关于x轴对称，点C的坐标为． 　　∵点C，D，F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上， 　　∴． 　　∵点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到， 　　∴，，点F的坐标为．　3分 　　∴点F与点A关于y轴对称，可设经过点A，B，F的抛物线的解析式为． 　　∴ 　　解得 　　∴所求抛物线的解析式为．　4分 　　(3)满足条件的点P的个数为5．　5分 　　抛物线的顶点为． 　　∵△EFG是由△OAB沿轴负方向平移m个单位得到， 　　∴，，∠FEG＝∠AOB＝30°． 　　∴点E的坐标为． 　　可得直线EF的解析式为． 　　∵点H的横坐标是方程的解， 　　整理，得． 　　解得． 　　∴点H的坐标为． 　　由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为．　6分 　　可知△AFM是等边三角形，∠MAF＝60°． 　　由A，M两点的坐标分别为A，， 　　可得直线AM的解析式为． 　　过点H作直线AM的平行线l，设其解析式为(b≠8)． 　　将点H的坐标代入上式，得． 　　解得，直线l的解析式为． 　　∵直线l与抛物线的交点的横坐标是方程的解． 　　整理，得．解得． 　　∴点满足，四边形的面积与四边形MFAH的面积相等．(如图)　7分 　　点关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为．　8分 　　综上所述，位于直线EF上方的点P的坐标分别为， 　　，．