Question

菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，F，H分别是AB，CD的中点，E，G分别在AD，BC上，且AE=CG
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；
③当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,三角形中位线定理,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）由于四边形ABCD是菱形，易得∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，结合AF=CH，AE=CG，利用SAS可证△AEF≌△CGH，于是EF=GH，而AB=CD，AD=BC，利用等式性质易得BF=DH，BG=DE，再利用SAS可证△BGF≌△DEH，于是GF=EH，易证四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据矩形的判定即可求得；
（3）根据菱形的判定可知EG过O且垂直FH，进而得出EG⊥AD，然后根据等边三角形的性质求得AC=4，AO=2，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，
∵F，H分别是AB，CD的中点，
∴AF=CH，
在△AEF与△CGH中，

AF=CH ∠A=∠C AE=CG

，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
∵AB=CD，AD=BC，
∴BF=DH，BG=DE，
同理证得△BGF≌△DEH，
∴GF=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，若?EFGH是矩形，
只需要对角线相等，即EG=FH=4，
只需E与G是所在边中点即可，
即AE=2；
（3）如图，若?EFGH为菱形，
只需要EG过O且垂直FH，即EG⊥AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=4，
∴AO=2
∠CAD=60°，则∠AOE=30°
∴AE=

AO

2

=1（在RT△中，30°所对直角边是斜边的一半），
即AE=1．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线垂直平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形．