数学课上.张老师出示图1和下面的条件:如图1.两块都含有30°角的直角三角板ABC和DEF有一条边在同一直线L上.∠ABC=∠DEF=90°.AB=1.DE=2．将直线EB绕点E逆时针旋转30°.交直线AD于点M．将图中的三角板ABC沿直线L向右平移．请你和小明同学一起尝试探究下列问题:(1)当点C与点F重合时.如图2所示.AM与DM是否相等?是,,(2)小明同学将图2中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．数学课上，张老师出示图1和下面的条件：如图1，两块都含有30°角的直角三角板ABC和DEF有一条边在同一直线L上，∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2．将直线EB绕点E逆时针旋转30°，交直线AD于点M．将图中的三角板ABC沿直线L向右平移．

请你和小明同学一起尝试探究下列问题：
（1）当点C与点F重合时，如图2所示，AM与DM是否相等？是；（填”是”或”否”）；
（2）小明同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转90°，将直线EB绕点E逆时针旋转30°，交直线AD于点M，如图3，过点B作EB的垂线交直线EM于G，连结AG，①求证：△ABG∽△CBE；②求AG的长．
（3）小明同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转m度，0＜m≤90，原题中的其他条件保持不变，如图4，设CE=x，计算$\frac{AM}{DM}$的值（用含x的代数式表示）．

分析（1）先证得AC∥EM，得出$\frac{DO}{OF}$=$\frac{DM}{AM}$，然后根据等角对等边得出OE=OF，OD=OE，从而求得OD=OF，即可证得AM=DM；
（2）①根据30°角的直角三角形的性质求得$\frac{BG}{BE}$=$\frac{AB}{BF}$，然后证得∠ABG=∠EBF，根据三角形相似的判定即可证得△ABG∽△CBE；②通过解直角三角形求得EF=2$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$，然后根据△ABG∽△CBE，对应边成比例得出$\frac{AG}{EF}$=$\frac{AB}{BF}$，即可求得AG的长；
（3）过B点作BG⊥BE，交EM的延长线于G，连接AG，先证明△ABG∽△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．

解答（1）解：是，
如图2，∵∠MEB=∠ACB=30°，
∴AC∥EM，
∴$\frac{DO}{OF}$=$\frac{DM}{AM}$
∵∠MEB=∠DFE=30°，
∴OE=OF，
∵∠DEF=90°，∠MEB=30°，
∴∠DEM=∠EDF=60°，
∴OD=OE，
∴OD=OF，
∴AM=DM；
（2）①证明：∵∠EBG=90°，∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠ABC，
∴∠EBG-∠ABE=∠ABC-∠ABE，即∠ABG=∠EBF，
∵∠GEB=30°∠EBG=90°，
∴tan30°=$\frac{BG}{BE}$，
在RT△ABC中，∠ACB=30°，
∴tan30°=$\frac{AB}{BF}$，
∴$\frac{BG}{BE}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴△ABG∽△CBE；
②解：如图3，在RT△DEF中，DE=2，∠DFE=30°，
∴EF=$\frac{DE}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
在RT△ABF中，AB=1，∠AFB=30°，
∴BF=$\frac{AB}{tan30°}$=$\sqrt{3}$，
∵△ABG∽△CBE，
∴$\frac{AG}{EF}$=$\frac{AB}{BF}$，即$\frac{AG}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴AG=2；
（3）解：如图4，过B点作BG⊥BE，交EM的延长线于G，连接AG，
同（2）即可证明△ABG∽△CBE，
∴∠BEF=∠AGB，$\frac{AG}{EC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴∠MEB=30°，
∴∠DEM+∠BEF=60°，∠EGA+∠AGB=60°
∵∠BEF=∠AGB，
∴∠DEM=∠EGA，
∴DE∥AG，
∴△AGM∽△DEM，
∴$\frac{AM}{DM}$=$\frac{AG}{DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x．

点评本题考查了相似形综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、旋转的性质及直角三角形的性质，考查的知识点比较多，难度较大，熟练掌握各个基础知识点是解题的关键．

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